Mình nghĩ đề bài phải là: $\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt{3x^2-2}=3x-2 (1)$
Lời giải:
Điều kiện: $x\ge\sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}$.
Phương trình tương đương với:
$\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}+\sqrt{3x^3-2}-1-3(x-1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(x-1)(x+1)}+\dfrac{3(x-1)(x^2+x+1)}{\sqrt{3x^3-2}+1}-3(x-1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-1}\left(\sqrt[3]{x+1}+3\sqrt[3]{(x-1)^2}\left[\dfrac{x^2+x+1}{\sqrt{3x^3-2}+1}-1\right]\right)=0$
Ta sẽ đi chứng minh:
$\dfrac{x^2+x+1}{\sqrt{3x^3-2}+1}-1>0$
$\Leftrightarrow x^2+x>\sqrt{3x^3-2}$
$\Leftrightarrow x^4-x^3+x^2+2>0$
$\Leftrightarrow \left(x^2-\dfrac{1}{2}x\right)^2+\dfrac{3}{4}x^2+2>0$
Vậy $\sqrt[3]{x+1}+3\sqrt[3]{(x-1)^2}\left[\dfrac{x^2+x+1}{\sqrt{3x^3-2}+1}-1\right]>0$.
Do đó phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=1$.