*) Chứng minh: $x^3+y^3\le1$
Ta có: $x^2+y^2=1 \Rightarrow 0\le x,y\le 1$
Suy ra: $x^3+y^3\le x^2+y^2=1$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left[\begin{array}{l}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{array}\right.$
*) Chứng minh: $x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt2}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$x^3+x^3+\dfrac{1}{2\sqrt2}\ge\dfrac{3}{\sqrt2}x^2$
$y^3+y^3+\dfrac{1}{2\sqrt2}\ge\dfrac{3}{\sqrt2}y^2$
Suy ra: $2(x^3+y^3)+\dfrac{1}{\sqrt2}\ge\dfrac{3}{\sqrt2}(x^2+y^2)=\dfrac{3}{\sqrt2} \Rightarrow x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt2}$
Dấu bắng xảy ra khi: $x=y=\dfrac{1}{\sqrt2}$