HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 \le 1\\ x^6+4(1-x^2)^3\ge \frac{4}{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t \le 1\\ t^3+4(1-t)^3\ge \frac{4}{9} \end{cases}$.
Với $t=x^2, 0 \le t \le1.$
Đặt $f(t)=t^3+4(1-t)^3$. Khảo sát hàm $f(t)$ trên $[0,1]$ ta được $\frac49 \le f(t)\le 4$.
Từ đây suy ra PT $t^3+4(1-t)^3\ge \frac{4}{9} $ luôn đúng với mọi $0 \le t \le1 \Leftrightarrow 0 \le x^2 \le1$.
Vậy nghiệm của BPT là $-1 \le x \le1.$