Nhắc lại
$\sqrt a \ge b \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} \begin{cases} a \ge 0 \\ b <0 \end{cases} \\ \begin{cases} b \ge 0 \\ a \ge b^2 \end{cases} \end{matrix} \right.$
TH1: $8-x <0 $
BPT $\Leftrightarrow \dfrac{x}{4} +\sqrt{x-4} \ge 0$
$\Leftrightarrow x \ge 4$ kết hợp $8-x <0 \Leftrightarrow x >8 \ (1)$
TH2: $x \le 8$
BPT $\Leftrightarrow \dfrac{x}{4}+\sqrt{x-4} \ge (8-x)^2$
$ \Leftrightarrow (x-4)+4 +4\sqrt{x-4} \ge 4[ (x-4) - 4 ]^2$ đặt $\sqrt{x-4}=t \ge 0$
BPT $\Leftrightarrow t^2 +4=4t \ge 4(t^2 -4)^2$
$\Leftrightarrow (t-\dfrac{5}{2}) (t-\dfrac{3}{2}) (2 + t)^2 \le 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \le t \le \dfrac{5}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \le \sqrt{x-4} \le \dfrac{5}{2}$ kết hợp đk $x \le 8$ ta được $ \dfrac{25}{4} \le x \le 8 \ (2)$
Từ $(1);\ (2) \Rightarrow x \ge \dfrac{25}{4}$
Kết luận $x \ge \dfrac{25}{4}$