ĐK $-5 \le x \le 4$
Từ đề bài ta có $m+1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -1$
Đặt $\sqrt{x-4}=a \ge 0;\ \sqrt{x+5}= b \ge 0$ ta có hệ
$\begin{cases} a + b = m+1 \\ a^2 + b^2 = 9 \end{cases}$ rút $b=m+1-a$ thế vào pt dưới
$2a^2 -2(m+1)a +(m+1)^2 -9 =0 \ (*)$
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi pt $(*)$ có nghiệm duy nhất
$\Delta' = (m+1)^2 - 2\bigg [ (m+1)^2 -9 \bigg ] = 0 \Leftrightarrow m= \pm 3\sqrt 2$
Kết hợp $m \ge -1 \Rightarrow m=3\sqrt 2$