Ai siêu sao thì giúp mình với.

Question

Cho 3 số thực dương a, b, c.

CMR: $\frac{25a}{b+c} + \frac{4b}{c+a} + \frac{9c}{a+b} > 12$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 3/25/2014 12:45:49 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Xét $P=\frac{25a^2}{a(b+c)}+\frac{4b^2}{b(a+c)}+\frac{9c^2}{c(a+b)}$

Áp dụng schwarz $P\ge \frac{(5a+2b+3c)^2}{2(ab+ac+bc)}$

Ta cm $(5a+2b+3c)^2>24(ab+ac+bc)$

$\Leftrightarrow 25a^2+4b^2+9c^2-4ab+6ac-12bc>0$

$\Leftrightarrow 24a^2+(a+3c-2b)^2>0$ luôn đúng.

Ta có đpcm

lịch sử

Sửa 25-03-14 12:45 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

Trả lời 25-03-14 12:45 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

Ấn V và vote up nếu đúng. Lần sau mình ss giúp. Tks – ♂Vitamin_Tờ♫ 25-03-14 12:46 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 3/25/2014 12:35:56 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Đặt $x=b+c,y=a+c,z=a+b\Rightarrow \begin{cases}2a=y+z-x \\ 2b=x+z-y \\2c=y+x-z\end{cases}$
$2A=\frac{25a}{b+c}$+$\frac{4b}{c+a}$+$\frac{9c}{a+b}=25\left ( \frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1 \right )+4\left ( \frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1 \right )+9\left ( \frac{y}{z}+\frac{x}{z}-1 \right )$.
$2A=25\frac{y}{x}+4\frac{x}{y}+25\frac{z}{x}+9\frac{x}{z}+4\frac{z}{y}+ 9\frac{y}{z}-38$
$2A \ge 2\sqrt{25\frac{y}{x}.4 \frac{x}{y}}+2\sqrt{25\frac{z}{x}.9\frac{x}{z}}+2\sqrt{4\frac{z}{y}. 9\frac{y}{z}}-38$
$2A \ge 20+30+12-38=24\Rightarrow A \ge 12.$
Đẳng thức không thể xảy ra vì
$\begin{cases}5y=2x \\ 5z=3x\\2z=3y \end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=0.$

Trả lời 25-03-14 12:35 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 25-03-14 12:36 PM