Mọi người giúp mình chi tiết bài về Nhị thứ Newton với

Question

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức

$(2x+1)^n$ biết tổng các hệ số của nó là

$59049$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 3/5/2014 1:10:11 AM

Đặt

$P(x)=(2x+1)^n$ thì khi nói đến tổng các hệ số của nó tức là muốn nói đến

$P(1)$ . Từ giả thiết có

$P(1)=59049\Rightarrow (2.1+1)^n=59049\Rightarrow 3^n=59049\Rightarrow n=10.$

Ta có,

$(2x+1)^{10} =\sum_{k=0}^{10}C_{10}^k(2x)^k=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^k2^kx^k.$

Như vậy hệ số tổng quát sẽ là

$T_k=C_{10}^k2^k, k=0,1,2,\dots,10.$

Ta sẽ chứng minh

$k=7$ thì

$T_7$ là lớn nhất.

Ta có:

$2^kC_n^k\ge 2^{k-1}C_n^{k-1} \Leftrightarrow 2.\frac{n!}{k!(n-k)!}\ge\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$

$\Leftrightarrow 2(n-k+1) \ge k \Leftrightarrow k\le\frac{2n+2}{3} =\frac{22}3\Leftrightarrow k \le 7 (1)$

Lại có:

$2^kC_n^k\ge 2^{k+1}C_n^{k+1} \Leftrightarrow \frac{n!}{k!(n-k)!}\ge2.\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}$

$\Leftrightarrow k+1\ge 2(n-k) \Leftrightarrow k\ge\frac{2n-1}{3} =\frac{19}3\Leftrightarrow k \ge 7 (2)$

Từ

$(1)$ và

$(2)$ suy ra

$2^kC_n^k$ lớn nhất khi và chỉ khi

$k=7$ .

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks!

1 Đáp án