Đặt $P(x)=(2x+1)^n$ thì khi nói đến tổng các hệ số của nó tức là muốn nói đến $P(1)$. Từ giả thiết có $P(1)=59049\Rightarrow (2.1+1)^n=59049\Rightarrow 3^n=59049\Rightarrow n=10.$
Ta có, $(2x+1)^{10} =\sum_{k=0}^{10}C_{10}^k(2x)^k=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^k2^kx^k.$
Như vậy hệ số tổng quát sẽ là $T_k=C_{10}^k2^k, k=0,1,2,\dots,10.$
Ta sẽ chứng minh $k=7$ thì $T_7$ là lớn nhất.
Ta có:
$2^kC_n^k\ge 2^{k-1}C_n^{k-1} \Leftrightarrow 2.\frac{n!}{k!(n-k)!}\ge\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$
$\Leftrightarrow 2(n-k+1) \ge k \Leftrightarrow k\le\frac{2n+2}{3} =\frac{22}3\Leftrightarrow k \le 7 (1)$
Lại có:
$2^kC_n^k\ge 2^{k+1}C_n^{k+1} \Leftrightarrow \frac{n!}{k!(n-k)!}\ge2.\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}$
$\Leftrightarrow k+1\ge 2(n-k) \Leftrightarrow k\ge\frac{2n-1}{3} =\frac{19}3\Leftrightarrow k \ge 7 (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $2^kC_n^k$ lớn nhất khi và chỉ khi $k=7$.