Theo bài ra $(a+b+c)^3 = 1 =a^3+b^3+c^3 \Rightarrow (a+b+c)^3 -(a^3 +b^3+c^3)=0$
$\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a) =0$
Vậy tồn tại ít nhất $2$ trong $3$ số $a;\ b;\ c$ đối nhau, giả sử $a+b=0 \Rightarrow a=-b$
Ta có $a+b+c=1 \Rightarrow c=1$
Vậy $a^{2005} +b^{2005} +c^{2005} =a^{2005} +(-a)^{2005} +1^{2005} =1$