tích phân

Question

tính tích phân

$\int\limits_{1}^{2}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}$ dx

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 2/19/2014 10:14:57 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Cách của Mr Tân trong trường hợp cận chứa

$0$ thì chuẩn không cần chỉnh, hên là bài nè không có và ta đi như sau

$I=\int_1^2 \dfrac{\dfrac{1}{x^2}-1}{\dfrac{1}{x^2}+x^2}dx$

đặt

$x+\dfrac{1}{x}=t \Rightarrow (\dfrac{1}{x^2}-1)dx=-dt$

lại có

$(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2 +\dfrac{1}{x^2}+2=t^2$

Vậy

$I=-\int_2^{\frac{5}{2}} \dfrac{1}{t^2-2}dt =\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int \bigg (\dfrac{1}{t+\sqrt 2} -\dfrac{1}{t-\sqrt 2} \bigg )dt$

=

$\dfrac{1}{2\sqrt 2} \ln \bigg | \dfrac{t+\sqrt 2}{t-\sqrt 2} \bigg |+C$ tự thay cận

Trả lời 19-02-14 10:14 PM

Dép Lê Con Nhà Quê
37K 3 10 14

864K 224K

2

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 2/19/2014 8:50:10 PM

$I = \int\limits_1^2 {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^4}}}dx}$ . Ta có

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^4}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2{x^2}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{\left( {1 + {x^2} + \sqrt 2 x} \right)\left( {1 + {x^2} - \sqrt 2 x} \right)}}\\ = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\frac{{2x + \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} + \sqrt 2 x}} - \frac{{2x - \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} - \sqrt 2 x}}} \right) \end{array}$
nên

$I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {\int\limits_1^2 {\frac{{2x + \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} + \sqrt 2 x}}dx - \int\limits_1^2 {\frac{{2x - \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} - \sqrt 2 x}}dx} } } \right]$

$= \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^2 {\frac{{d\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^2 {\frac{{d\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} =$

$\begin{array}{l} \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{2 + \sqrt 2 }^{5 + 2\sqrt 2 } {\frac{{du}}{u}} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{2 - \sqrt 2 }^{5 - 2\sqrt 2 } {\frac{{dv}}{v}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\ln \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left( {\frac{{5 - 2\sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}} \right)\\ =\boxed{ \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{\left( {5 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 2 } \right)}} } \end{array}$

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn.