*) Điều kiện cần:
Nếu $(x_0;y_0)$ là nghiệm thì $(-x_0;-y_0)$ cũng là nghiệm của hệ.
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_0=-x_0\\y_0=-y_0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0=0\\y_0=0\end{array}\right.$
Từ đó suy ra $a=\sqrt3$
*) Điều kiện đủ:
Với $a=\sqrt3$ ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+3}+|y|=\sqrt3&(1)\\\sqrt{y^2+5}+|x|=\sqrt{x^2+5}\end{array}\right.$
Sử dụng đánh giá BĐT ta thấy: $\sqrt{x^2+3}+|y|\ge\sqrt3$
nên $(1) \Leftrightarrow x=y=0$, thoả mãn.
Vậy hệ có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow a=\sqrt3$