Ta có: $x+\sqrt{x^2+1}+3^x=y+\sqrt{y^2+1}+3^y (*)$
Xét hàm: $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}+3^t$
$f'(t)=1+\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}+3^t\ln3=\dfrac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}}+3^t\ln3>\dfrac{|t|+t}{\sqrt{t^2+1}}+3^t\ln3>0$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ đó, $(*) \Leftrightarrow x=y$
Ta nhận được hệ:
$\left\{\begin{array}{l}x=y\\x+\sqrt{x^2+1}=3^x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=y\\3^x(\sqrt{x^2+1}-x)=1\end{array}\right.$
Xét hàm: $g(t)=3^t(\sqrt{t^2+1}-t)$
$g'(t)=3^t(\sqrt{t^2+1}-t)\ln3+3^t\left(\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}-1\right)$
$=3^t(\sqrt{t^2+1}-t)\left(\ln3-\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right)>0,\forall t\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow g(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mà ta có: $g(0)=1$ nên $x=0$ là nghiệm duy nhất của: $3^x(\sqrt{x^2+1}-x)=1$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(0;0)$