Ta có: x+√x2+1+3x=y+√y2+1+3y(∗)
Xét hàm: f(t)=t+√t2+1+3t
f′(t)=1+t√t2+1+3tln3=√t2+1+t√t2+1+3tln3>|t|+t√t2+1+3tln3>0
⇒f(t) đồng biến trên R.
Từ đó, (∗)⇔x=y
Ta nhận được hệ:
{x=yx+√x2+1=3x⇔{x=y3x(√x2+1−x)=1
Xét hàm: g(t)=3t(√t2+1−t)
g′(t)=3t(√t2+1−t)ln3+3t(t√t2+1−1)
=3t(√t2+1−t)(ln3−1√t2+1)>0,∀t∈R
⇒g(t) đồng biến trên R.
Mà ta có: g(0)=1 nên x=0 là nghiệm duy nhất của: 3x(√x2+1−x)=1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y)=(0;0)