Bất đẳng thức.

Question

Cho

$x,y,z$ là 3 số dương thỏa mãn

$xyz=8.$ Chứng minh rằng:

$\frac{x^2}{x^2+2x+4}+\frac{y^2}{y^2+2y+4}+\frac{z^2}{z^2+2z+4}\geq 1$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 1/25/2014 4:39:19 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Đặt:

$x=\dfrac{2a^2}{bc};y=\dfrac{2b^2}{ac};z=\dfrac{2c^2}{ab}$ với

$a,b,c>0$ .

Khi đó ta có:

$\dfrac{x^2}{x^2+2x+4}+\dfrac{y^2}{y^2+2y+4}+\dfrac{z^2}{z^2+2z+4}$

$=\dfrac{\dfrac{4a^4}{b^2c^2}}{\dfrac{4a^4}{b^2c^2}+\dfrac{4a^2}{bc}+4}+\dfrac{\dfrac{4b^4}{a^2c^2}}{\dfrac{4b^4}{a^2c^2}+\dfrac{4b^2}{ac}+4}+\dfrac{\dfrac{4c^4}{a^2b^2}}{\dfrac{4c^4}{a^2b^2}+\dfrac{4c^2}{ab}+4}$

$=\dfrac{a^4}{a^4+a^2bc+b^2c^2}+\dfrac{b^4}{b^4+b^2ac+a^2c^2}+\dfrac{c^4}{c^4+c^2ab+a^2b^2}$

$\ge\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2bc+b^2ac+c^2ab+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}\ge1$

Dấu bằng xảy ra khi:

$x=y=z=2$

Trả lời 25-01-14 04:39 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

Sao mình biết đặt như thế anh Khang nhỉ? – Xusint 26-01-14 09:54 AM

Hỏi	24-01-14 12:58 PM
Lượt xem	835
Hoạt động	26-01-14 09:53 AM

Bất đẳng thức.

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi phamngocthanhyb@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 25-01-14 12:58 PM

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức.

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi phamngocthanhyb@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 25-01-14 12:58 PM

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan