giup minh voi!!!

Question

Cho:

$\begin{cases}u_1=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \end{cases}$

chung minh

$(u_n)$ tang va bi chan tu do tim gioi han

chu y cai phuong trinh duoi la cong thuc truy hoi ,minh ko viet duoc cong thuc

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 1/24/2014 8:33:51 AM

+

$u_1 = \sqrt 2 <\ u_2=\sqrt{2+\sqrt 2}$

+ Giả sử đúng

$u_k < u_{k+1}$

+ CM

$u_{k+1}<u_{k+2}$

Thật vậy

$u_{k+1}=\sqrt{2+u_k} < \sqrt{2+u_{k+1}} =u_{k+2}$ vậy dãy tăng

Ta có

$u_1 =\sqrt 2 <2$

$u_2 =\sqrt{2+\sqrt 2} <\sqrt{2 +2} =2$

$u_k <2$ cm

$u_{k+1}<2$

THật vậy

$u_{k+1}=\sqrt{ 2+u_k}<\sqrt{2+2}=2$ vậy dãy bị chặn trên bởi

$2$

Ngoài ra có thể làm

$u_1=\sqrt 2 =2 .\dfrac{\sqrt 2}{2} =2\cos \dfrac{\pi}{4}=2\cos \dfrac{\pi}{2^2}$

$u_2=\sqrt{2+u_1}=\sqrt{2+2\cos \dfrac{\pi}{4}}=\sqrt{2(1+\cos \dfrac{\pi}{4})}=\sqrt{2 .2\cos^2 \dfrac{\pi}{8}}=2\cos \dfrac{\pi}{2^3}$

Quy ạp được

$u_n=2\cos \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ từ đó dễ có dãy bị chăn và tính được giới hạn

1 Đáp án