Đặt P=x2+y2+z2+xyz
Trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số thuộc cùng 1 trong 2 khoảng [0;1] hoặc [1;+∞).
KMTTQ giả sử 2 số đó là x,y.
Khi đó ta có: (x−1)(y−1)≥0⇒xyz≥z(x+y)−z
Ta có:
P≥x2+y2+z2+z(x+y)−z
=x2+y2+z(x+y+z)−z
=x2+y2+2z
≥(x+y)22+2z
=(3−z)22+2z
=(z−1)22+4≥4
Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z=1