Đặt $P=x^2+y^2+z^2+xyz$
Trong 3 số $x,y,z$ luôn tồn tại 2 số thuộc cùng 1 trong 2 khoảng $[0;1]$ hoặc $[1;+\infty)$.
KMTTQ giả sử 2 số đó là $x,y$.
Khi đó ta có: $(x-1)(y-1)\ge0 \Rightarrow xyz\ge z(x+y)-z$
Ta có:
$P\ge x^2+y^2+z^2+z(x+y)-z$
$=x^2+y^2+z(x+y+z)-z$
$=x^2+y^2+2z$
$\ge\dfrac{(x+y)^2}{2}+2z$
$=\dfrac{(3-z)^2}{2}+2z$
$=\dfrac{(z-1)^2}{2}+4\ge4$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$