Với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: $\sum_{i=1}^ni^3=\dfrac{n^2(n + 1)^2}{4} (*)$
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
Với $n=1$, ta có: $1^3=1=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}$
Như vậy $(*)$ đúng khi $n=1$
Giả sử $(*)$ đúng khi $n=k,k\in{\mathbb{N}^*}$.
Ta cần chứng inh $(*)$ đúng với $n=k+1$, tức là:
$\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
$\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\dfrac{(k+1)^2}{4}.(k^2+4k+4)=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.