GTNN giup em zoi

Question

Cho $0<x,y<1$. Tìm GTNN của $P=\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y}+\frac{1}{x+y}+x+y$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/20/2014 12:59:29 PM

Ta có thể viết lại $P$ dưới dạng:
$P=(1+x)+\frac{x^2}{1-x}+(1+y)+\frac{y^2}{1-y}+\frac{1}{x+y}-2$
$=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}-2 (1)$
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có:
$[(1-x)+(1-y)+(x+y)](\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y})\geq 9$
$\Rightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2} (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $P\geq \frac{5}{2} (3)$
Dấu $"="$ trong $(3)$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x= y\\ 1-x=2x \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}$. Vậy $\min P=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}$.

Trả lời 20-01-14 12:59 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

cach nay de hiu ak – ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥ 20-01-14 01:04 PM

cach nay em thay trong sach oai ne.hjhj – ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥ 20-01-14 01:04 PM

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. – Trần Nhật Tân 20-01-14 01:00 PM

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 2 · 1/17/2014 12:59:06 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Áp dụng Cauchy-Schwarz thì $P\geq \frac{(x+y)^2}{2-(x+y)}+\frac{1}{x+y}+x+y=\frac{t^2}{2-t}+\frac{1}{t}+t=\frac{t^2}{2-t}+(\frac{1}{t}+\frac{9t}{4})-\frac{5t}{4}$

Với $00$

$\Rightarrow P\geq \frac{4t^2-5t(2-t)}{4(2-t)}+2.\sqrt{\frac{9t}{4t}}=\frac{9t^2-10t}{4(2-t)}+3$

Ta cm $\frac{9t^2-10t}{4(2-t)}\geq \frac{-1}{2} (*)$

Thật vậy $(*)\Leftrightarrow \frac{9(t-\frac{2}{3})^2}{2(2-t)}\geq 0$ đúng do $2-t>0$

$\Rightarrow P\geq \frac{5}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{3}$

Vậy $Min P=\frac{5}{2}$

lịch sử

Sửa 17-01-14 12:59 PM