Gọi số chính phương cần tìm là n2, thương là p(p∈P).
Khi đó ta có:
n2=39p+1
⇔n2−1=39p
⇔(n−1)(n+1)=39p
Vì 39p có các ước dương là {1;3;13;39;p;3p;13p;39p}, ta xét các trường hợp sau:
*) {n−1=1n+1=39p⇔{n=2p=113 (loại)
*) {n−1=3n+1=13p⇔{n=4p=513 (loại)
*) {n−1=13n+1=3p⇔{n=14p=5 (thoả mãn)
*) {n−1=39n+1=p⇔{n=40p=41 (thoả mãn)
*) {n−1=pn+1=39⇔{n=38p=37 (thoả mãn)
*) {n−1=3pn+1=13⇔{n=12p=113 (loại)
*) {n−1=13pn+1=3⇔{n=2p=113 (loại)
*) {n−1=39pn+1=1⇔{n=0p=−139 (loại)
Vậy các số chính phương thoả mãn là: 196;1444;1600.