abcd

Question

$\int\limits x^{2}\sqrt{x^2+1}dx$

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 1/11/2014 9:08:44 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Cách biến đổi thứ 3

$I=\int [x^2 (\sqrt{x^2+1}-x)+x^3]dx$

Đặt

$\sqrt{x^2+1}+x=t \Rightarrow x^2+1 =(t-x)^2=t^2 +x^2 -2tx \Rightarrow x =\dfrac{t^2-1}{2t} \ (*)$

$\Rightarrow dx=\dfrac{t^2+1}{2t^2}dt$

Từ

$(*) \Rightarrow x^2 = \dfrac{(t^2-1)^2}{4t^2}; \ x^3 =\dfrac{(t^2-1)^3}{8t^3}$ lắp vào là ra :)

Trả lời 11-01-14 09:08 AM

Dép Lê Con Nhà Quê
37K 3 10 14

864K 224K

2

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 2 · 1/11/2014 8:58:48 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Cách 2 như đã hứa

$I=\int \dfrac{x^2 \sqrt{x^2+1}. x}{x}dx$

Đặt

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=t \Rightarrow \dfrac{x^2+1}{x^2}=1+\dfrac{1}{x^2}=t^2 \Rightarrow x^2 =\dfrac{1}{t^2-1}$

$\Rightarrow x dx = \dfrac{-t}{(t^2-1)^2}dt$

Vậy

$I=-\int \dfrac{1}{t^2-1} .\dfrac{t}{(t^2-1)^2}.t$ Nó quay về ý chang bên trên

Trả lời 11-01-14 08:58 AM

Dép Lê Con Nhà Quê
37K 3 10 14

864K 224K

2

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 3 · 1/11/2014 12:06:39 AM

Cách 1:

Đặt

$x=\tan t \Rightarrow dx =\dfrac{dt}{\cos^2 t}$

$I=\int \tan^2 t .\dfrac{1}{\cos t} .\dfrac{1}{\cos^2 t}dt=\int \dfrac{\sin^2 t}{\cos^5 t}dt=\int \dfrac{\sin^2 t \cos t}{\cos^6 t }dt$

$=\int \dfrac{\sin^2 t d(\sin t)}{(1-\sin^2 t)^3}=\int \dfrac{t^2}{(1-t^2)^3}dt=\int \dfrac{t^2 -1 + 1}{(1-t^2)^3}dt=-\int \dfrac{1}{(1-t^2)^2} +\int\dfrac{1}{(1-t^2)^3}dt =I_1 +I_2$

Hai cái trên tương tự nhau cả, a chỉ e cách làm cái

$I_2$ là cái khó hơn nhé

$I_1 =\int \dfrac{1}{(1-t^2)^3}dt = \dfrac{1}{8} \int \bigg [ \dfrac{(1+t) +(1-t)}{(1-t)(1+t)} \bigg ]^3 dt =\dfrac{1}{8}\int \bigg (\dfrac{1}{1+t} +\dfrac{1}{1-t} \bigg )^3dt$