[ TOÁN 10] BẤT ĐẴNG THỨC

Question

Chứng minh với a,b,c,d>0

a) $\frac{a+c}{a+b} + \frac{b+d}{b+c} +\frac{c+a}{c+d} + \frac{d+b}{d+a} \geq 4$

b) $\frac{a+c}{(a+b)(c+d)} + \frac{b+d}{(a+d)(b+c)} \geq \frac{4}{a+b+c+d}$

c) $\frac{3}{a+b} + \frac{2}{c+d} +\frac{a+b}{(a+c)(b+d)} \geq \frac{12}{a+b+c+d}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/6/2014 5:45:35 PM

1. Áp dụng BĐT $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y} \ge \frac{4}{X+Y}$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow X=Y$.

$\frac{a+c}{a+b} + \frac{b+d}{b+c} +\frac{c+a}{c+d} + \frac{d+b}{d+a} = (a+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \right )+ (b+d)\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d} \right ) \ge (a+c) .\frac{4}{a+b+c+d}+(b+d) .\frac{4}{a+b+c+d} =\frac{4(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=4$.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a+b=c+d, b+c=a+d\Leftrightarrow b=d,a=c$.

Trả lời 06-01-14 05:45 PM

Trần Nhật Tân
96K 3 264 52

856K 2M

1

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. – Trần Nhật Tân 06-01-14 05:46 PM