Với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
$1^3+2^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4} (*)$
Ta sẽ chứng minh $(*)$ bằng phương pháp quy nạp.
Với $n=1$, ta có: $1^3=1=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}$
Như vậy $(*)$ đúng khi $n=1$
Giả sử $(*)$ đúng khi $n=k,k\in\mathbb{N}^*$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$, hay:
$1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
$1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3$
$=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$
$=\dfrac{(k+1)^2}{4}.(k^2+4k+4)$
$=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.