Ta có $i^3 = 6\begin{pmatrix} i \\3 \end{pmatrix}+6\begin{pmatrix} i \\2 \end{pmatrix} +i$ do đó
$A=\sum \limits_{i=1}^n i^3 = \sum \limits_{i=1}^n \bigg [ 6\begin{pmatrix} i \\3 \end{pmatrix}+6\begin{pmatrix} i \\2 \end{pmatrix} +i \bigg ] =6\sum \limits_{i=1}^n \begin{pmatrix} i \\3 \end{pmatrix} + 6\sum \limits_{i=1}^n \begin{pmatrix} i \\2 \end{pmatrix} + \sum \limits_{i=1}^n \begin{pmatrix} i \\1 \end{pmatrix} $
Trong đó $ \sum \limits_{i=1}^n \begin{pmatrix} i \\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\k+1 \end{pmatrix}$
Vậy $A=6\begin{pmatrix} n+1 \\4 \end{pmatrix}+6\begin{pmatrix} n+1 \\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+1 \\2 \end{pmatrix}$
Nó chính là $6C_{n+1}^4 + 6C_{n+1}^3 + C_{n+1}^2 =\bigg ( \dfrac{n(n+1)}{2} \bigg )^2$