help me

Question

Cho các số dương

$a,b,c$ thỏa mãn điều kiện a

$+ b + c = 3$ .chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+ \frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+ \frac{c^{2}}{c+2a^{3}} \geqslant 1$

Tonny_Mon_97 · Answer 1 · 12/16/2013 8:34:00 PM

Ta có :

$\frac{a^2}{a+2b^3}$ = a -

$\frac{2ab^3}{a+2b^3}$

$\geq$ a -

$\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}$ = a -

$\frac{2b\sqrt[3]{a^2} }{3}$

Tương tự :

$\frac{b^2}{b+2c^3}$

$\geq$ b -

$\frac{2c\sqrt[3]{b^2}}{3}$ ;

$\frac{c^2}{c+2a^3}$

$\geq$ c -

$\frac{2a\sqrt[3]{c^2}}{3}$

$\Rightarrow$

$\frac{a^2}{a+2b^3}$ +

$\frac{b^2}{b+2c^3}$ +

$\frac{c^2}{c+2a^3}$

$\geq$ a+b+c -

$\frac{2}{3}$ .

$( b\sqrt[3]{a^2}$ +

$c\sqrt[3]{b^2}$ +

$a\sqrt[3]{b^3}$ )

Ta cần chứng minh : a+b+c -

$\frac{2}{3}$ .

$( b\sqrt[3]{a^2}$ +

$c\sqrt[3]{b^2}$ +

$a\sqrt[3]{b^3}$ )

$\geq$ 1

$\Leftrightarrow$ 3 -

$\frac{2}{3}$ .

$( b\sqrt[3]{a^2}$ +

$c\sqrt[3]{b^2}$ +

$a\sqrt[3]{b^3}$ )

$\geq$ 1

$\Leftrightarrow$

$( b\sqrt[3]{a^2}$ +

$c\sqrt[3]{b^2}$ +

$a\sqrt[3]{b^3}$ )

$\leq$ 3

Ta có

$b\sqrt[3]{a^2}$

$\leq$

$\frac{b.(2a+1)}{3}$

Tương tự rồi cộng lại

$\Rightarrow$ dpcm

Tonny_Mon_97 · Answer 2 · 12/12/2013 3:29:49 PM

Bình chọn tăng -1 Bình chọn giảm

Vì

$a,b,c>0$ nên áp dung bddoooooooooooooooooooooo

$\frac{a^2}{a+2b}+\frac{a+2b}{9}\geq\frac{2}{3}a$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{a+2b}\geq \frac{5a-2b}{9}(1)$

Tương tự ta co:

$\frac{b^2}{b+2c}\geq \frac{5b-2c}{9}(2)$

$\frac{c^2}{c+2a}\geq \frac{5c-2a}{9}(3)$

Từ

$(1),(2),(3)$ ta co:

$\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\geq \frac{3(a+b+c)}{9}=1 (vì a+b+c=3)$

Dấu bằn xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1$

lịch sử

Sửa 12-12-13 03:29 PM

Tonny_Mon_97
5K 15 17

28K 167K

1 1

Trả lời 12-12-13 09:32 AM

gio_lang_thang
1K 6 10

20K 76K

1

Hỏi	11-12-13 02:24 PM
Lượt xem	2758
Hoạt động	15-12-13 02:51 PM

help me

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

help me

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan