Ai giải giúp em bài toán này với

Question

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 2$.

Tìm GTLN của biểu thức $Q=abc.$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 11/22/2013 9:05:59 PM

Từ gt ta được $\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$

TƯơng tự: $\frac{1}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}}$

$\frac{1}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$

Suy ra: $\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq \frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$

$\Rightarrow Q\leq \frac{1}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Vậy $Max Q=\frac{1}{8}$

Trả lời 22-11-13 09:05 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

khangnguyenthanh · Answer 2 · 11/22/2013 9:01:39 PM

Ta có: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

$\Rightarrow \frac{1}{a+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự:

$\frac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân 3 BĐT trên lại ta được: $abc\le\frac{1}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{2}$

Trả lời 22-11-13 09:01 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

2 Đáp án