ĐK: $x>0$.
Đặt: $t=\log_3\sqrt x \Rightarrow \sqrt x=3^t$
Phương trình đã cho trở thành:
$\log_2(1+3^t)=2t$
$\Leftrightarrow 1+3^t=2^{2t}$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{4}\right)^t+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t=1 (*)$
Xét hàm: $f(t)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^t+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t,t\in\mathbb{R}$
Ta có: $f'(t)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^t\ln\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t\ln\dfrac{3}{4}<0,\forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(1)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(1)=1$ nên: $(*) \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow \sqrt x=3 \Leftrightarrow x=9$.