Phương trình.

Question

Giải phương trình:

$\log_2\left(1+\sqrt{x}\right)=\log_3x$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 11/14/2013 12:57:00 PM

ĐK:

$x>0$ .

Đặt:

$t=\log_3\sqrt x \Rightarrow \sqrt x=3^t$

Phương trình đã cho trở thành:

$\log_2(1+3^t)=2t$

$\Leftrightarrow 1+3^t=2^{2t}$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{4}\right)^t+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t=1 (*)$

Xét hàm:

$f(t)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^t+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t,t\in\mathbb{R}$

Ta có:

$f'(t)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^t\ln\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t\ln\dfrac{3}{4}<0,\forall t\in\mathbb{R}$

Suy ra:

$f(t)$ nghịch biến trên

$\mathbb{R}$

$\Rightarrow f(1)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mà

$f(1)=1$ nên:

$(*) \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow \sqrt x=3 \Leftrightarrow x=9$ .

1 Đáp án