$\sum \limits_{k=1}^n = 1.1! + 2.2! + ... + n.n!$
Ta có $k.k! = (k+1 -k).k! = (k+1)k! -k! = (k+1)! -k!$
$ \Rightarrow 1.1! = 2! -1!$
$2.2! = 3!-2!$
$...$
$n.n! = (n+1)! -n!$
Cộng theo vế ta có $\sum \limits_{k=1}^n = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n+1)! -1!$