Tôi chứng minh đoạn cuối thôi nhé
Ta có $\bigg (\dfrac{a+b}{2} \bigg )^{k} \le \dfrac{a^{k} +b^{k}}{2} \ (1)$ cần chứng minh BĐT đúng với $n = k+1$ nghĩa là
$\bigg (\dfrac{a+b}{2} \bigg )^{k+1} \le \dfrac{a^{k+1} +b^{k+1}}{2}$
Ta có $\bigg (\dfrac{a+b}{2} \bigg )^{k+1} =\dfrac{a+b}{2} .\bigg (\dfrac{a+b}{2} \bigg )^{k} \le \dfrac{a+b}{2} . \dfrac{a^{k} +b^{k}}{2} $
Cần chứng minh $ \dfrac{a+b}{2} . \dfrac{a^{k} +b^{k}}{2} \le \dfrac{a^{k+1} +b^{k+1}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{k+1} +b^{k+1}}{4} + \dfrac{a^{k}b +b^{k}a}{4} \le \dfrac{a^{k+1} +b^{k+1}}{2}$
$\Leftrightarrow a^k .b + a. b^k \le a^{k+1} + b^{k+1}$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^k -b^k) \ge 0$ luôn đúng. Dấu $=$ xảy ra khi chỉ khi $a=b$