$x^n \sqrt{1-x} < \dfrac{1}{\sqrt{2ne}} \Rightarrow x^{2n} .(1-x) <\dfrac{1}{2ne}$
Xét hàm $f(x)=x^{2n}(1-x);\ x \in(0,1)$ ta có $f(x)$ đạt max tại $x=\frac{2n}{2n+1}$
$x^{2n}(1-x) \leq (1-\frac{1}{2n+1})^{2n}.\frac{1}{2n+1} \ (1)$
Áp dụng bđt
$\frac{1}{e}>(1-\frac{1}{2n+1})^{2n+1}$
$\Rightarrow \frac{1}{2ne}>(1-\frac{1}{2n+1})^{2n+1}.\frac{1}{2n}=(1-\frac{1}{2n+1})^{2n}.\frac{1}{2n+1} \ (2)$
Từ $(1) ;\ (2)$ có điều phải chứng minh