Giải như sau được không bạn?
Giả sử $19p+8=k^3,k\in\mathbb{Z}^+$.
Ta có:
$19p=k^3-8$
$\Leftrightarrow 19p=(k-2)(k^2+2k+4)$
Vì $19,p$ đều là các số nguyên tố và $k^2+2k+4>1$ nên có 3 khả năng sau:
*) $\left\{\begin{array}{l}k-2=1\\k^2+2k+4=19p\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}k=3\\p=1\end{array}\right.$, loại.
*) $\left\{\begin{array}{l}k-2=p\\k^2+2k+4=19\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}k=3\\p=1\end{array}\right.$, loại.
*) $\left\{\begin{array}{l}k-2=19\\k^2+2k+4=p\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}k=21\\p=487\end{array}\right.$, thỏa mãn.
Vậy $p=487$.