Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát: $a^4b+b^4c+c^4a\leq\dfrac{256}{3125}(a+b+c)^5$
Giả sử $a=\max(a;b;c)$ ta sẽ chứng minh: $a^4b+b^4c+c^4a\leq \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^4\left(b+\dfrac{c}{2}\right) (1)$
Thật vậy:
$(1) \Leftrightarrow c\left(\dfrac{a^4}{2}+2a^3b+a^3c+\dfrac{3}{2}a^2bc+\dfrac{3}{4}a^2c^2+\dfrac{1}{2}abc^2-\dfrac{3}{4}ac^3-b^4+\dfrac{bc^3}{16}+\dfrac{c^4}{16}\right)\geq 0$
Điều này luôn đúng do $c\geq 0$ và $\dfrac{3}{4}a^2c^2+2a^3b\geq \dfrac{3}{4}ac^3+b^4$
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $x^4y\leq \frac{256}{3125}(x+y)^5$, với $x=a+\dfrac{c}{2},y=b+\dfrac{c}{2}$.
Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM: $3125\left(\dfrac{x}{4}\right)^4.y\leq (x+y)^5$
Dấu bằng xảy ra tại $a=4b,c=0$.