bất đẳng thức

Question

Cho

$a,b,c>0, a+b+c=1$ . CM

$a^{4}b+b^{4}c+c^{4}a\leq \frac{256}{3125}$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 10/21/2013 11:26:33 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát:

$a^4b+b^4c+c^4a\leq\dfrac{256}{3125}(a+b+c)^5$

Giả sử

$a=\max(a;b;c)$ ta sẽ chứng minh:

$a^4b+b^4c+c^4a\leq \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^4\left(b+\dfrac{c}{2}\right) (1)$

Thật vậy:

$(1) \Leftrightarrow c\left(\dfrac{a^4}{2}+2a^3b+a^3c+\dfrac{3}{2}a^2bc+\dfrac{3}{4}a^2c^2+\dfrac{1}{2}abc^2-\dfrac{3}{4}ac^3-b^4+\dfrac{bc^3}{16}+\dfrac{c^4}{16}\right)\geq 0$

Điều này luôn đúng do

$c\geq 0$ và

$\dfrac{3}{4}a^2c^2+2a^3b\geq \dfrac{3}{4}ac^3+b^4$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$x^4y\leq \frac{256}{3125}(x+y)^5$ , với

$x=a+\dfrac{c}{2},y=b+\dfrac{c}{2}$ .

Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM:

$3125\left(\dfrac{x}{4}\right)^4.y\leq (x+y)^5$

Dấu bằng xảy ra tại

$a=4b,c=0$ .

Trả lời 21-10-13 11:26 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

Như vậy thì dấu bằng không xảy ra. – khangnguyenthanh 23-10-13 12:00 AM

c đâu bằng 0 đcđk là c>0 – nghiahongoanh 22-10-13 10:53 PM

Hỏi	21-10-13 10:26 PM
Lượt xem	910
Hoạt động	21-10-13 11:26 PM

bất đẳng thức

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

bất đẳng thức

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan