Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát: a4b+b4c+c4a≤2563125(a+b+c)5
Giả sử a=max ta sẽ chứng minh: a^4b+b^4c+c^4a\leq \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^4\left(b+\dfrac{c}{2}\right) (1)
Thật vậy:
(1) \Leftrightarrow c\left(\dfrac{a^4}{2}+2a^3b+a^3c+\dfrac{3}{2}a^2bc+\dfrac{3}{4}a^2c^2+\dfrac{1}{2}abc^2-\dfrac{3}{4}ac^3-b^4+\dfrac{bc^3}{16}+\dfrac{c^4}{16}\right)\geq 0
Điều này luôn đúng do c\geq 0 và \dfrac{3}{4}a^2c^2+2a^3b\geq \dfrac{3}{4}ac^3+b^4
Vậy ta chỉ cần chứng minh: x^4y\leq \frac{256}{3125}(x+y)^5, với x=a+\dfrac{c}{2},y=b+\dfrac{c}{2}.
Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM: 3125\left(\dfrac{x}{4}\right)^4.y\leq (x+y)^5
Dấu bằng xảy ra tại a=4b,c=0.