Ta sẽ chứng minh $T\le\dfrac{25\sqrt2}{\sqrt{11}}$.
Nếu $a,b,c\ge0$ thì ta có:
$T\le3(a+b+c)\le3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3\sqrt3<\dfrac{25\sqrt2}{\sqrt{11}}$.
Nếu $a,b,c\le0$ thì ta có:
$T\le-22abc=22\sqrt{a^2b^2c^2}\le22\sqrt{\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{27}}=\dfrac{22}{3\sqrt3}<\dfrac{25\sqrt2}{\sqrt{11}}$
Ta chỉ cần xét trường hợp trong 3 số $a,b,c$ có cả số âm và số dương.
Không mất tính tổng quát giả sử $bc\le0$.
Ta có:
$T^2=\left[a(3-22bc)+(b+c)3\right]^2$
$\le\left[a^2+(b+c)^2\right]\left[(3-22bc)^2+9\right]$
$=(2bc+1)(484b^2c^2-132bc+18)$
$=968b^3c^3+220b^2c^2-96bc+18$
$=\dfrac{4}{11}(22bc-7)(11bc+3)^2+\dfrac{450}{11}\le\dfrac{450}{11}$
Suy ra: $T\le\dfrac{25\sqrt2}{\sqrt{11}}$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $a=b=\dfrac{3}{\sqrt{22}};c=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$