bất đẳng thức

Question

Choa a,b,c>0; abc=8. CM

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}} }+\frac{1}{\sqrt{1+b^{3}} }+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}} }\geq1$

mathworld1999 · Answer 1 · 1/1/2014 11:41:49 AM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Xét

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}$

Theo bđt Côsi ta có

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}\geq \frac{2}{a^{2}+2}$

Do đó A là bt ở đề bài ta có

$A\geq \frac{2}{a^{2}+2}+\frac{2}{b^{2}+2}+\frac{2}{c^{2}+2}$

Đặt

$a=\frac{2x}{y};b=\frac{2y}{z};c=\frac{2z}{x}$

Lúc đó

$A\geq \frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2y^{2}+z^{2}}+\frac{x^{2}}{2z^{2}+x^{2}}$

$=\frac{y^{4}}{2x^{2}y^{2}+y^{4}}+\frac{z^{4}}{2y^{2}z^{2}+z^{4}}+\frac{x^{4}}{2z^{2}x^{2}+x^{4}}$

Áp dụng bđt Bunhia ta có

$A\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}+2x^{2}y^{2}+2y^{2}z^{2}+2z^{2}x^{2}}=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}=1$

đpcm

Trả lời 01-01-14 11:41 AM

mathworld1999
384 4 11

33K 55K

1

Vote cho em nhé! Nếu đúng thì công nhận nữa nhé! – mathworld1999 01-01-14 11:42 AM

Hỏi	14-10-13 11:11 PM
Lượt xem	974
Hoạt động	01-01-14 11:41 AM

bất đẳng thức

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

bất đẳng thức

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan