Xét $\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}$Theo bđt Côsi ta có $\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}\geq \frac{2}{a^{2}+2}$
Do đó A là bt ở đề bài ta có
$A\geq \frac{2}{a^{2}+2}+\frac{2}{b^{2}+2}+\frac{2}{c^{2}+2}$
Đặt $a=\frac{2x}{y};b=\frac{2y}{z};c=\frac{2z}{x}$
Lúc đó $A\geq \frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2y^{2}+z^{2}}+\frac{x^{2}}{2z^{2}+x^{2}}$
$=\frac{y^{4}}{2x^{2}y^{2}+y^{4}}+\frac{z^{4}}{2y^{2}z^{2}+z^{4}}+\frac{x^{4}}{2z^{2}x^{2}+x^{4}}$
Áp dụng bđt Bunhia ta có $A\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}+2x^{2}y^{2}+2y^{2}z^{2}+2z^{2}x^{2}}=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}=1$
đpcm