Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\Rightarrow t^2=1+2\sqrt{x\left(1-x\right)}\Rightarrow \sqrt{x\left(1-x\right)}=\frac{t^2-1}{2}$.
PT $\Leftrightarrow t^3-\frac{t^2-1}{2}=m$
$\Leftrightarrow m=f(t)= t^3-\frac{t^2-1}{2}$ với $0 < t \le \sqrt 2$.
Khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0,\sqrt 2]$ ta được
$\min f(t) =f\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{13}{27} $
$\max f(t) =f\left ( \sqrt 2 \right )=2\sqrt 2-\frac{1}{2} $.
Vậy $\frac{13}{27} \le m \le 2\sqrt 2-\frac{1}{2} $.