$2\log_{\frac{1}{3}} 6 - \dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}400 + 3\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45}$
$=-2\log_3 2.3 + \dfrac{1}{2}\log_3 20^2 - 3\log_3 45^{\frac{1}{3}}$
$=-2\log_3 2-2 + \log_3 20 - \log_3 3^2.5$
$=-2\log_3 2 - 2 + \log_3 20 - 2 - \log_3 5$
$=-2\log_3 2 + \log_3 \dfrac{20}{5} - 4$
$=-2\log_3 2 + \log_3 4 - 4$
$= -\log_3 4 + \log_3 4 - 4 = -4$