Bất đẳng thức(ttt).

Question

Cho ba số thực dương

$a,\,b,\,c$ thỏa mãn

$a^2+b^2+c^2=3abc.$ Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{b^2c^2}+\dfrac{b}{c^2a^2}+\dfrac{c}{a^2b^2}\geq\dfrac{9}{a+b+c}$

NguyễnTốngKhánhLinh · Answer 1 · 8/17/2013 2:25:28 PM

Có

$\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{a^2c^2}+\frac{c}{a^2b^2}$

$=\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2b^2c^2}$

$=\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}9}$

$=\frac{9(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2)^2}$

Điều ta cần chứng minh là

$\frac{9(a^3+b^3+c^3)}{(a^2+b^2+c^2)^2} \geq \frac{9}{a+b+c}$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} \geq \frac1{a+b+c} (*)$

Theo BĐT Bunnhia, ta có

$(a^2+b^2+c^2)^2 \leq (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)$

Thế vào (*), ta có

$\frac{a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)} = \frac1{a+b+c}$ (đpcm)

Trả lời 17-08-13 02:25 PM

NguyễnTốngKhánhLinh
7K 1 6 20

181K 96K

3 2

1 Đáp án