Có $\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{a^2c^2}+\frac{c}{a^2b^2}$$=\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2b^2c^2}$
$=\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}9}$
$=\frac{9(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2)^2}$
Điều ta cần chứng minh là $\frac{9(a^3+b^3+c^3)}{(a^2+b^2+c^2)^2} \geq \frac{9}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} \geq \frac1{a+b+c} (*)$
Theo BĐT Bunnhia, ta có
$(a^2+b^2+c^2)^2 \leq (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)$
Thế vào (*), ta có
$\frac{a^3+b^3+c^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)} = \frac1{a+b+c}$ (đpcm)