Bài 2:Nhận xét rằng
$(ac+bd)^2+1=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho $S$, ta được:
$S\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+ac+bd$
$\Leftrightarrow S\geq 2\sqrt{(ac+bd)^2+1}+ac+bd (*)$
Đặt $ac+bd=t$, ta thấy ngay hai vế của $(*)$ đều dương, do đó:
$S^2\geq (2\sqrt{t^2+1}+t)^2=4(1+t^2)+4t\sqrt{t^2+1}+t^2$
$=(1+t^2)+4t\sqrt{t^2+1}+4t^2+3=(\sqrt{t^2+1}+2t)^2+3\geq3 $
$\Leftrightarrow S\geq \sqrt{3} $, đpcm.