$ĐK : x \geq \frac{-1}2$
$PT \Leftrightarrow 4x^3+x=(x+1)\sqrt{2x+1}$
$\Leftrightarrow 8x^3+2x= (2x+2).\sqrt{2x+1}$
$\Leftrightarrow 8x^3+2x= (2x+1).\sqrt{2x+1} +\sqrt{2x+1}$
$\Leftrightarrow (2x)^3+2x= (\sqrt{2x}+1)^3+\sqrt{2x+1} (1)$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ trên R
$\Rightarrow f't=3t^2+1 >0$
$\Rightarrow$ Hàm $f(t)$ đồng biến trên R
Do đó
$(1) \Leftrightarrow 2x=\sqrt{2x+1}$
Bình phương hai vế, ta có
$4x^2-2x-1=0$
$\Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt5}4$
Xét $ĐK \Rightarrow x=\frac{1+\sqrt5}4$