Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử c là số bé nhất và đặt:f(a,b,c)=a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)Ta có:f(a,b,c)−f(ab−−√,ab−−√,c)=(a√−b√)2(a+b+2ab−−√−2c)≥0Do đó f(a,b,c)≥f(ab−−√,ab−−√,c), vậy ta chỉ cần chứng minh f(ab−−√,ab−−√,c)≥0.Thật vậy, nếu đặt t=ab−−√ thì ta có:f(t,t,c)=2t2+c2+2t2c−2(t2+2tc)+1=(c−1)2+2c(t−1)2≥0Bài toán được chứng minh xong.
Sử dụng
lần
lượt b
ất đ
ẳng
th
ức AM-GM, t
a c
ó:
2abc
+1=abc+abc+1
≥3a
2b
2c
2−−−−−√
3≥9ab
ca+b+cDo đó, ta chỉ cần chứng minh
:a2+b2+c2+9abca+b+c≥2(ab
+bc
+ca)Th
ực hiện phép khi t
riển t
rực t
iếp, ta có
bất
đẳng t
hức
t
ương đương với:a3+b3+c
3+
3abc
≥ab(
a+
b)+
bc(
b+c)+c
a(
c+a)
Đúng vì đây chính là
bất đ
ẳng thức
Sch
ur dạng
bậc ba n
ên ta có điều ph
ải chứng
minh.