lượng giác nè

Question

CM BĐT bằng lượng giác :

Cho

$|a|\geq 1 ; |b|\geq 1 ; ab\neq 0$

CMR :

$\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}\leq |ab|$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 8/5/2013 11:04:58 PM

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\left|\dfrac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}}{xy}\right|\le1 (*)$

Vì:

$\left(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=1$ và

$\left(\dfrac{\sqrt{y^2-1}}{y}\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}\right)^2=1$ .

Đặt

$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x};\sin\alpha=\dfrac{1}{x}$

$\cos\beta=\dfrac{\sqrt{y^2-1}}{y};\sin\beta=\dfrac{1}{y}$

Khi đó:

$(*) \Leftrightarrow |\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha|\leq1 \Leftrightarrow |\sin(\alpha+\beta)|\leq1$ , luôn đúng.

Trả lời 05-08-13 11:04 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 2 · 8/5/2013 8:59:13 PM

Đặt

$a^2=\frac{1}{\cos^2x}\geq 1, b^2=\frac{1}{\cos^2y}$ ...... Cái này tại mình làm biến ghi trị tuyệt đối nhe!

BĐT trở thành:

$\sqrt{\frac{1}{\cos^2x}-1}+\sqrt{\frac{1}{\cos^2y}-1}\leq \left| \frac{1}{\cos x\cos y}{} \right|$

$\Leftrightarrow \left|\tan x {} \right|+\left| {} \tan y\right|\leq \left| {} \frac{1}{\cos x\cos y}\right|$

$\Leftrightarrow \left| {}\sin x\cos y \right|+\left| {}\sin y\cos x \right|\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \sin(x-y)+\sin(x+y){} \right|+\frac{1}{2}\left| {}\sin(y-x)+\sin(y+x) \right|\leq 1 (*)$

Ta cm

$(*)$ đúng.

Thật vậy ta có

$VT(*)\leq \frac{1}{2}(\sin(x-y)+\sin(x+y)+\sin(y-x)+\sin(y+x))$

$\leq \frac{1}{2}.2\sin(x+y)\leq 1$ do

$\sin(x-y)=-\sin(y-x)$

2 Đáp án