ứng dụng max min chứng minh BĐT

Question

chứng minh rằng

$\forall x \in (-1;1) n > 1, n \in N$ ta có

$(1+x)^{n} + (1-x)^{n} < 2^{n}$

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 8/4/2013 12:21:01 PM

Đặt

$1 - x = a,\ 1+x = b => a + b = 2 > 0 ,\ \ a > 0, b > 0$

cần cm:

$a^n + b^n < ( a +b)^n ,\ \forall a > 0,\ b > 0,\ n \in N$

Với

$n = 2, VT = (1-x)^2 + (1+x)^2 = 2(1 + x^2) < 4 = 2^2$ ( do

$x < 1$ )

Giả sử đúng với

$n = k > 2 \Rightarrow a^k + b^k < (a+b)^k$

Ta cần CM BDT đúng với

$n= k +1$ , tức là

$(a+b)^{k+1} > a^{+1} + b^{k+1}$ . Thật vậy

$(a+b)^{k+1} = (a+b)( a+b)^k > (a^k+ b^k )(a +b) = a^{k+1} + b^{k+1} + a^k.b + b^k. a > a^{k+1} + b^{k+1}$

Vậy xong

Bài nè có thể làm chặt hơn với dấu

$=$

Trả lời 04-08-13 12:21 PM

Dép Lê Con Nhà Quê
37K 3 10 14

864K 224K

2

1 Đáp án