Đặt $1 - x = a,\ 1+x = b => a + b = 2 > 0 ,\ \ a > 0, b > 0$
cần cm: $a^n + b^n < ( a +b)^n ,\ \forall a > 0,\ b > 0,\ n \in N$
Với $n = 2, VT = (1-x)^2 + (1+x)^2 = 2(1 + x^2) < 4 = 2^2$ ( do $x < 1$)
Giả sử đúng với $n = k > 2 \Rightarrow a^k + b^k < (a+b)^k$
Ta cần CM BDT đúng với $n= k +1$, tức là $(a+b)^{k+1} > a^{+1} + b^{k+1}$. Thật vậy
$(a+b)^{k+1} = (a+b)( a+b)^k > (a^k+ b^k )(a +b) = a^{k+1} + b^{k+1} + a^k.b + b^k. a > a^{k+1} + b^{k+1}$
Vậy xong
Bài nè có thể làm chặt hơn với dấu $=$