Xét hàm: $f(x)=x^4+px+q$.
Ta có: $f'(x)=4x^3+p$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3+p=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}$.
Lập bảng biến thiên ta được:
$\min_{x\in\mathbb{R}} f(x)=f\left(-\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}\right)=q-\dfrac{3p}{4}\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}}$.
Vậy $x^4+px+q\geq0,\forall x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \min_{x\in\mathbb{R}} f(x)\geq0 \Leftrightarrow q\geq\dfrac{3p}{4}\sqrt[3]{\dfrac{p}{4}} \Leftrightarrow 256q^3\geq 27p^4$.