Số học.

Question

Cho $p$ và $q$ là số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $q$ và $q^{3}-1$ chia hết cho $p.$

Chứng minh: $p=q^{2}+q+1$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 8/3/2013 9:43:10 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Vì $p-1\,\vdots\,q \Rightarrow p-1\ge q \Rightarrow p\ge q+1$.

Do $q-1<p$ mà $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)\,\vdots\, p \Rightarrow (q^2+q+1)\,\vdots\, p$

Đặt $q^2+q+1=tp, t\in\mathbb{Z}^+$.

Ta có:

$t-1=t-tp+q^2+q=q^2+q-t(p-1)\,\vdots\,q$

mà $t=\dfrac{q^2+q+1}{p}\le\dfrac{q^2+q+1}{q+1}=q+\dfrac{1}{q+1}<q+1$

Suy ra $t=1$ hay $p=q^2+q+1$.

Trả lời 03-08-13 09:43 PM

khangnguyenthanh
72K 2 480 42

332K 4M

1

caheoxanh_99 · Answer 2 · 8/3/2013 9:18:11 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Vì p nguyên tố $\Rightarrow p-1>0$ và $p-1$ chia hết cho $q$
$\Rightarrow p-1\geq q$
$\Rightarrow p\geq q+1>q-1$
$\Rightarrow (p;q-1)=1$
Ta có: $q^{3}-1$ chia hết cho $p$
$\Rightarrow (q-1)(q^{2}+q+1)$ chia hết cho $p$
mà $(p;q-1)=1$
$\Rightarrow (q^{2}+q+1)=kp (k \epsilon N^{*})$
-Nếu $k>1$ ta có $(q^{2}+q+1)=kp$
$\Leftrightarrow q^{2}+q=kp-1=k(p-1)+k-1$
mà $q^{2}+q$ chia hết cho $q$ và $k(p-1)$ chia hết cho $q$
$\Rightarrow k-1$ chia hết cho q
mà $k>1 \Rightarrow k-1>0$
$\Rightarrow k-1\geq q$
$\Rightarrow k\geq q+1$
mà $p\geq q+1$
$\Rightarrow kp\geq (q+1)^{2}$
$\Rightarrow q^{2}+q+1\geq q^{2}+q+1$
$\Rightarrow q\leq 0$ (vố lí)
Do đó $k\leq 1$
mà $k \epsilon N^{*}$
$k=1$
$\Rightarrow p=q^{2}+q+1$ (đpcm)

Trả lời 03-08-13 09:18 PM

caheoxanh_99
473 4 14

29K 59K

1