Ta có:
$\sqrt{x^4+4x+m}+\sqrt[4]{x^4+4x+m}=6$
$\Leftrightarrow \sqrt[4]{x^4+4x+m}=2$
$\Leftrightarrow x^4+4x+m=16$
$\Leftrightarrow m=16-x^4-4x$
Xét hàm: $f(x)=16-x^4-4x$
Ta có: $f'(x)=-4x^3-4$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$
Lập bẳng biến thiên ta được: $f(x)\leq 19$.
Từ đó ta có thể kết luận:
$m<19$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
$m=19$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$
$m>19$: Phương trình vô nghiệm.