giúp mình với

Question

$S = \frac{\sqrt{3}}{12} \times (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ CMR tam giác $ABC$ đều

NguyễnTốngKhánhLinh · Answer 1 · 7/31/2013 9:44:12 AM

Có

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Hê-rông)

$\Leftrightarrow 4\sqrt3S=4\sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Áp dụng BĐT cô-si, ta có

$(p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{(3p-a-b-c)^3}{27}=\frac{p^3}{27}$

$\Rightarrow 4\sqrt3S \leq 4\sqrt{3p.\frac{p^3}{27}}=4.\frac{p^2}3$

Theo bunhia

$\Rightarrow (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow 4p^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

$\Rightarrow \frac{4p^2}3 \leq a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow 4\sqrt3S \leq a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow S \leq \frac{\sqrt3}{12}(a^2+b^2+c^2)$

Dấu "=" xảy ra khi

$a=b=c \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều

Trả lời 31-07-13 09:44 AM

NguyễnTốngKhánhLinh
7K 1 6 20

181K 96K

3 2

Nếu đáp án của mình đúng, bạn vui lòng nhấn V để chấp nhận và nhấn mũi tên để vote up hộ mình. Cảm ơn :) – NguyễnTốngKhánhLinh 31-07-13 09:45 AM

1 Đáp án