CM một số BĐT

Question

$a)$ Cho $x^2+y^2+z^2=1. CMR: \frac{-1}{2}\leq xy+yz+xz\leq 1$

$b) a,b,c>0.CMR: a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)$

$c)a>0. CMR: \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\leq 1+a$

$d)b,c>0. CMR: \frac{b+c}{bc}\geq \frac{4}{b+c}$

$e)a+b+c=1. a,b,c>0.CMR: b+c\geq 16abc$

$f)a+b=1. CMR: a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 7/26/2013 5:59:46 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Cũng có thể dùng câu d cm câu e

$1=(a+(b+c))^2\geq 4a(b+c)\Rightarrow b+c\geq 4a(b+c)^2\geq 4a4bc$ đpcm

Trả lời 26-07-13 05:59 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 2 · 7/26/2013 5:57:31 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

f) Ta có $1=(a+b)^2\leq (1^2+1^2)(a^2+b^2)\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$

Hoặc $\begin{cases}a^2+\frac{1}{4}\geq a\\ b^2+\frac{1}{4}\geq b\end{cases}$

$\Rightarrow a^2+b^2+\frac{1}{2}\geq a+b=1$ đpcm

Trả lời 26-07-13 05:57 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 3 · 7/26/2013 5:52:44 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu e) $a=1-b-c$ BĐT $\Leftrightarrow b+c\geq 16bc(1-b-c)\Leftrightarrow b+c\geq 16bc-16b^2c-16bc^2$

$\Leftrightarrow (b+16bc^2)+(c+16b^2c)\geq 16bc$ đúng theo cô si

Trả lời 26-07-13 05:52 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 4 · 7/26/2013 5:50:14 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

d) Ta có BĐT $\Leftrightarrow (b+c)^2\geq 4bc\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ đúng. Đpcm

Hoặc có thể làm thế này: BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 4$ đúng theo cô si

Trả lời 26-07-13 05:50 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 5 · 7/26/2013 5:46:28 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu c) Đặt $x=\sqrt[3]{a}>0$ ta được BĐT $\Leftrightarrow x+x^2\leq 1+x^3$

$\Leftrightarrow (1-x)+x^2(x-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (1-x)(1-x^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (1-x)^2(1+x)\geq $ đpcm

Trả lời 26-07-13 05:46 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 6 · 7/26/2013 5:43:47 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu b) Mình nghĩ bạn chép thiếu đề. a,b,c là 3 cạnh của tam giác

Ta có $\begin{cases}a<b+c \\ b<a+c \\c<a+b\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2<a(b+c) \\ b^2<b(a+c)\\c^2<c(a+b) \end{cases}$

Cộng vế theo vế ta có đpcm

Trả lời 26-07-13 05:43 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 7 · 7/26/2013 5:41:16 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Ta có $\begin{cases}(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\\ (x+y+z)^2\geq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\geq 0\end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases}xy+yz+xz \leq x^2+y^2+z^2=1\\ xy+yz+xz\geq \frac{-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{-1}{2} \end{cases}$

Trả lời 26-07-13 05:41 PM

♂Vitamin_Tờ♫
10K 1 49 19

306K 525K

36 3

Hỏi	26-07-13 05:34 PM
Lượt xem	3053
Hoạt động	26-07-13 05:59 PM

CM một số BĐT

7 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

CM một số BĐT

7 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan