Nhìn là biết xài vecto làm rồi
Xét trên hệ trục tọa độ $Oxy, \ M(x- 1, -y), \ N(x + 1, y)$ ta có $OM + ON \ge MN$
Vì vậy $\sqrt{(x- 1)^2 + y^2 } + \sqrt{(x +1)^2 + y^2} \ge \sqrt{4 + 4y^2} = 2\sqrt{1 + y^2}$
Vậy $A \ge 2\sqrt{1 + y^2} + |y - 2 |$
Xét hàm $f(y) = 2\sqrt{1 + y^2} + |y - 2 |$
+ Với $y \le 2$ ta có $f(y) = 2\sqrt{1 + y^2} + 2 - y$
Khảo sát lập bảng biến thiên hàm này bạn có ngay $min f(y) = 2 + \sqrt3$
+ Với $y \ge 2$ ta có $A \ge 2\sqrt{1 + y^2} \ge 2\sqrt 5 > 2 + \sqrt 3$
Vậy $A \ge 2 + \sqrt 3$, dấu $=$ xẩy khi chỉ khi $x = 0,\ y = \dfrac{1}{\sqrt 3}$