Giả sử: $|ax^2+bx+c|\le1,\forall 0\le x\le1$, ta sẽ chứng minh: $|a|+|b|+|c|\le 17$.
Thật vậy,
đặt: $\left\{\begin{array}{l}M=c\\N=a+b+c\\P=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2N+2M-4P\\b=4P-N-3M\\c=M\end{array}\right.$
Theo gt ta có: $|M|,|N|,|P|\le1$.
Ta có:
$|a|+|b|+|c|=|2N+2M-4P|+|4P-N-3M|+|M|$
$\le 2|N|+2|M|+4|P|+4|P|+|N|+3|M|+|M|\le17$
Suy ra để $|a|+|b|+|c|>17$ thì bpt $|ax^2+bx+c|>1$ có nghiệm $0\le x\le 1$.