Ta có: 24√27x2+24x+283=1+√3(9x+4)2 ⇔4√(9x+4)23+4=1+√3(9x+4)2(1)
Điều kiện: 9x+4=y≥0. Khi đó (1) trở thành:
24√y23+4=1+√3y2⇔4√y23+4=1+3y2+√6y
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
√6y≤6+y2 ⇒4√y23+4≤2y+4
⇔4(y33+4)≤(y+2)2⇔(y−6)23≤0
Ta lại có: (y−6)2≥0 nên y=6
Từ đó x=y−49=29 thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=29