Đặt $t=\frac{x}{x^2+1}$
$PT \Leftrightarrow 4t^2-2(2m-1)t+m^2-m-6=0$
Xét biệt số $\triangle = b'^2-ac=25 >0$
$\Rightarrow PT$ luôn có hai nghiệm phân biệt
$TH1: t=\frac{m+2}2 \Leftrightarrow \frac{x}{x^2+1}=\frac{m+2}2$
$\Leftrightarrow x^2(m+2)-2x+m+2=0 (1)$
$\Rightarrow \triangle_1= 1-(m+2)^2$
$TH2: t=\frac{m-3}2 \Leftrightarrow \frac{x}{x^2+1}=\frac{m-3}2$
$\Leftrightarrow x^2(m-3)-2x+m-3=0 (2)$
$\Rightarrow \triangle_2= 1-(m-3)^2$
Để phương trình đề cho có ít nhất một nghiệm x thì một trong hai $PT (1) , (2)$ có nghiệm
$\Rightarrow (m+2)^2 \leq 1 \Leftrightarrow -3 \leq m \leq -1$
Hoặc $(m-3)^2 \leq 1 \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 4$
$\Rightarrow m \in [-3;-1] \cup [2;4]$