Hàm số

Question

Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số

$y=x^{3}-3mx+2$ cắt đường tròn tâm

$I(1:1)$ bán kính bằng 1 tại A, B mà diện tích tam giác

$IAB$ lớn nhất.

khangnguyenthanh · Answer 1 · 7/4/2013 7:33:46 AM

Ta có:

$y'=3x^2-3mx$

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi phương trình

$y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow m>0 (*)$

Lấy

$y$ chia cho

$y'$ ta được:

$y=y'.\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}(1-mx)$

Vậy phương trình đường thẳng

$(d)$ đi qua 2 điểm cực trị là:

$y=\dfrac{2}{3}(1-mx) \Leftrightarrow 2mx+3y-2=0$

Ta có:

$S(IAB)=\dfrac{1}{2}.IA.IB.\sin\angle AIB\le\dfrac{1}{2}.IA.IB=\dfrac{1}{2}$

$S(IAB)$ lớn nhất

$\Leftrightarrow \angle AIB=90^o \Leftrightarrow d(I/(d))=\dfrac{1}{\sqrt2}$

Khi đó ta có:

$\dfrac{|2m.1+3.1-2|}{\sqrt{4m^2+9}}=\dfrac{1}{\sqrt2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{|2m+1|}{\sqrt{4m^2+9}}=\dfrac{1}{\sqrt2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2m+1)^2}{4m^2+9}=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 4m^2+8m-7=0$

$\Leftrightarrow m=\dfrac{-2\pm\sqrt{11}}{2}$

Kết hợp với

$(*)$ ta được:

$m=\dfrac{-2+\sqrt{11}}{2}$

1 Đáp án