Ta có:$S=\frac{1}{2}bc.sinA$ và $a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$ (định lí cosin)
Do đó:
$S=a^2-(b-c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}bc.sinA=b^2+c^2-2bc.cosA-b^2-c^2+2bc$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}bc.sinA=2bc(1-cosA)$
$\Leftrightarrow sinA=4(1-cosA)$
Mà ta có $cos^2A=1-sin^2A$
$\Leftrightarrow cos^2A=1-16(1-2cosA+cos^2A)$
$\Leftrightarrow 17cos^2A-32cosA+15=0$
$\Leftrightarrow cosA=1 $(loại vì 0<A<180)$ $ và $cosA=\frac{15}{17}$
với $cosA=\frac{15}{17}$ suy ra A nằm ở góc phần tư thứ nhất, do đó $sinA>0$
Ta có $cos^2A+sin^2A=1$ Suy ra $sinA=\frac{8}{17}$
Mà $tanA=\frac{sinA}{cosA}=\frac{8}{15}$ (điều cần chứng minh)